2017-2018学年高二数学选修2-2课件+教师用书+练习：第2章2.3数学归纳法ppt（3份）
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2017-2018学年高二数学人教A版选修2-2课件+教师用书+练习：第2章 2.3数学归纳法 (3份打包)
2018版 第2章 2.3 数学归纳法 学业分层测评.doc
2018版 第2章 2.3 数学归纳法.doc
2018版 第2章 2.3 数学归纳法.ppt
学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
【答案】 C
2．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14
【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝12＋13＋14.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
【导学号：62952088】
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.k＋14＋k＋122
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【解析】 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
【答案】 D
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
【解析】 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”
【答案】 D
5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确 B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确 D．命题、推理都不正确
【解析】 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.
【导学号：62952089】
【解析】 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1n＋12>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是_________________________．
2.3 数学归纳法
1．了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)
2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
[基础•初探]
教材整理 数学归纳法
阅读教材P92～P94“例1”以上内容，完成下列问题．
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的框图表示
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
[小组合作型]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋42(n∈N*)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
(2)用数学归纳法证明
(n＋1)•(n＋2)•…•(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)．
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.
【答案】 D
(2)①当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2.等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)•…•(k＋k)＝2k×1×3×…×(2k－1)
那么当n＝k＋1时，
[(k＋1)＋1]•[(k＋1)＋2]•…•[(k＋1)＋(k＋1)]＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)•…•(k＋k)(2k＋1)＝2×2k×1×3×…×(2k－1)(2k＋1)＝2k＋1×1×3×…×(2k－1)×[2(k＋1)－1]
即当n＝k＋1时，等式也成立．
根据①和②，可知等式对任何n∈N*都成立．
数学归纳法证题的三个关键点
1．验证是基础
找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
2．递推是关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1
