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烽火传递军情.mp4 5.30 MB
　　教学设计
　　在本阶段，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意到它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．为此，本节课我设想以思维过程为主线，发现为目标，把教学过程设计分为五个阶段.
　　1 设置悬念，引入新课（引起学生回顾、联想和认知冲突）
　　在本阶段的教学中，我想应从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．具体教学安排如下：
　　对于数列 ,已知 , 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为  。这个猜想是否正确，如何证明？
　　如果能一个一个地算下去，都把它算出来，那也是一种证明方法，但是算得完吗？显然，是不行的，那怎么办？
　　2 从生活实例引入，描述数学归纳法（设计趣例，激发学生学习兴趣）
　　数学归纳法的引入是学习数学归纳法的过程中重要的一环.根据以往的经验，不论老师如何解释，学生对数学归纳法的原理往往迷惑不解，将信将疑，为了突破这一难点，我在教学中设计了一实例，使学生在比较熟悉的实际问题中领悟数学归纳法，同时也激发了学生的学习兴趣.具体教学安排如下：
　　2.1引入实例 
　　事例（一）烽火，是古代军情报警的一种措施，烽火台一般相距10里左右，守台士兵发现敌人来犯时，立即于台上燃起烽火（或烟），邻台见到后依样随之，这样敌情便可迅速传递到军事中枢部门。简单的说，就是传报军情。
　　思考：敌情传递到军事中枢部门，需要满足哪两个条件？
　　（1）                                ；(2)                                    ；
　　事例（二）多米诺骨牌是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下，进而导致第三块骨牌倒下，……，最终所有骨牌都倒下。
　　思考：所有骨牌都倒下 需要满足哪两个条件？
　　（1）                                ；(2)                                    ；
　　2.2理解实例   这一阶段从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义.理解数学归纳法中的递推思想，要特别注意其中第二步，即证明 命题成立时必须用到 时命题成立这个假设条件．中学数学中的许多重要结论，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步.
　　2.3提升实例  在上述实例的基础上，引导学生思考：现在我们把上例换成前面的数学问题，请问，要是这无穷多个等式都成立。
　　【自主探究】
　　多米诺骨牌游戏与我们前面所提到的要解决的问题有相似性吗？
　　多米诺骨牌游戏 通项公式为      的证明方法
　　（1）第一块骨牌倒下。
　　（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。
　　根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
　　1第一个等式要成立，即 时， 要成立；
　　2假设第 个等式要成立，一定要推出第 个等式也要成立，也就是说，要由 一定能推出 也成立.请问：这两步能做到吗？
　　2.4发现数学归纳法  哪一位同学能板演一下
　　学生尝试后，教师解析学生的书写格式.（注意板书）
　　3提升理念，形成数学归纳法（引导学生总结归纳，培养学生的归纳推理能力）
　　此阶段的目的是引导学生得出数学归纳法原理，理解数学归纳法的实质.具体教学安排如下：
　　请问：如何证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立？
　　从上面的例子可以看出，要证明一个关于正整数的命题对所有的正整数都成立，只须满足：
　　1证明当n=  时命题成立；
　　2假设n=k 时命题成立，证明n=k+1是命题也成立；
　　由1、2可知命题对所有的正整数都成立.
　　这种证法的本质步骤可以归结为“证明两个条件，得出一个结论”.这种证明方法就叫做数学归纳法(板书课题).
　　数学归纳法的这两个步骤，第一个步骤是命题递推的基础.，第二个步骤是命题递推的根据，二者缺一不可，其中第二步是数学归纳法的核心，在从 到 的递推过程中，必须要用到归纳假设，这是数学归纳法证题的本质特征.否则，不论形式上多么相似，也不能称此证明方法为数学归纳法.
　　4目标训练—数学归纳法的初步应用（通过应用理解数学归纳法，弄清数学归纳法的两个步骤及其应用），
　　在本阶段教学中我选用了一道典型的题目，目的是初步明确数学归纳法的实质和用途.
　　例 设有数列 表示数列 前 项的和，计算 ， ， ，由此推猜 ，并证明你的结论. 具体教学安排如下：
　　4.1  两位同学板演，其他同学练习
　　4.2  全班同学评价，教师个别辅导
　　4.3  大家形成共识，归纳解题步骤（注意板书）
　　5总结反思，深化认识
　　这一阶段通过小结，使学生对对所学知识有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后复习并在课外拓展. 具体教学安排如下：
　　5.1内容小结
　　这节课我们学习的数学归纳法是解决与自然数有关的数学命题的有力工具，应用非常广泛，后面还要陆续介绍如何用数学归纳法解决各种问题，这节课我们主要掌握两点：⑴理解数学归纳法原理，掌握用数学归纳法证明命题的步骤和格式. 数学归纳法证明命题的步骤简单的说：“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”.⑵会证一些简单的恒等式，初步理解其第二步的作用及书写格式.
　　5.2课外延展
　　我按照“课堂教学为主，课外活动为辅”的原则，把课外活动作为课内教学的补充和提高，让学生在课堂教学基础上加深对知识的理解和运用，扩大知识面，提高能力，发展智力.同时培养他们的自学能力和刻苦钻研的精神.因此我考虑不能把所有的问题都放在课堂解决，而应该让学生带着问题走出课堂，为此我设计当堂达标提升题组。
　　5.3作业布置
　　⑴阅读教材第62～63页内容并整理笔记；
　　⑵课外作业：第64页练习.
　　课表分析
　　课标要求：   1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；
　　2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．
　　通过课标要求提出了本节课的目标引领
　　知识与技能： 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；
　　过程与方法： 经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；
　　情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。
　　（1） 对于课标要求1的分析：
　　从思考题中引入课题并归纳出数学归纳法的基本原理，步骤
　　（1）、已知数列     的通项公式为 （1）求出其前四项 ，（2）你能得到什么样的猜想？ 猜想一定正确吗？
　　（2）、已知数列 ，  （1）求出其前四项 ，（2）你能得到什么样的猜想？猜想一定正确吗？
　　分析：逐一验证是不可能的．那么，我们应该思考“怎样通过有限个步骤的推理，证明 取所有正整数都成立”的问题．引出课题“这就是我们今天要研究的直接证明数学问题的一种方法——数学归纳法”．
　　（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 ( ,例如 =1或 )时,命题成立；
　　（2）（归纳递推）假设 时命题成立,证明当 时命题也成立；
　　根据（1）和（2），可知命题对于从 开始的所有正整数 都成立.
　　（2）对于课标2的分析：
　　用数学归纳法证明：
　　证明：证明：① 当n=1时，左边=      ，右边=               =       ，
　　故等式成立． ——3分
　　② 假设n=k（ ，且k≥1）时等式成立．
　　即                                         成立． ——5分
　　则当n=k＋1时，左=12＋22＋32＋…＋k2 ＋(k+1)2=                          ＋(k+1)2
　　=                     =                        =                     
　　．即当n=k＋1 时等式也成立．         ——11分
　　综合①，②，对一切 ，等式都成立． -----------------------------12分
　　【变式练习】用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
　　证明：
　　教材分析
　　教材分析：
　　数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中的第五条，“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学（选修2-2）》中的第2章推理与证明中的第三单元，数学归纳法的学习，计划利用2个课时学习，本节课是数学归纳法的起始课，主要是理解数学归纳法，并初步利用数归解决简单的数学问题，数学归纳法属于直接证明，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明 取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用，
　　课后反思
　　数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢?于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n＝k时命题成立呢?教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．所以，在讲数学归纳法之前先用多媒体播放多米诺骨牌游戏，只启不发，让学生有所感悟；对比数学方法与多米诺骨牌游戏规则寻求它们的共同特点，从而抽象概括出数学归纳法的证题模式。再之后，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试。
　　在教学方法上，这里运用了我校的“问题解决式”教学模式。通过教师生动有效的“问题切入”提高学生们的学习兴趣和学习专注度、通过用“教学问题组”的形式引领学生自主探究同时培养学生自主学习能力、通过课堂教学“中心组辅导活动”提升学生合作交流的能力、通过“变式练习、当堂达标”让学生夯实基础学会运用达到掌握知识提高能力的目的等，节奏明快，教学效率高。
　　数学归纳法的核心是递推思想，而第二步即是递推的依据.但第二步离不开第一步的奠基作用，只有验证了第一步，第二步的归纳假设才真正有了生命！两个步骤相互作用，是不可分割的整体.即在第二步中，证明n＝k+1命题成立时必须用到n＝k时命题成立这个条件.
　　对于数学归纳法，学生只有理解其本质了，才能在做题时得心应手，而不是根本不知道从何下手，或者不知道在证n=k+1时应该怎么样证才好.