2016届高考数学（文）二轮复习 专题整合突破（课件+练习）：专题二 三角函数、平面向量（8份）
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一、选择题
1.将函数y＝sinx＋π6(x∈R)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为( )
A. y＝sin2x＋5π12(x∈R)
B. y＝sinx2＋5π12(x∈R)
C. y＝sinx2－π12(x∈R)
D. y＝sinx2＋5π24(x∈R)
答案 B
解析 原函数图象向左平移π4个单位后得y＝sinx＋π6
＋π4＝sinx＋5π12(x∈R)的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y＝sinx2＋5π12(x∈R)的图象．
2．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则fπ6的值是( )
A．－3 B.33
C．1 D.3
答案 D
解析 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f(x)＝tan2x，∴fπ6＝tanπ3＝3，故选D.
3．将函数f(x)＝cosx－3sinx(x∈R)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是( )
A.π12 B.π6
C.π3 D.5π6
答案 B
解析 f(x)＝cosx－3sinx＝212cosx－32sinx＝2cosx＋π3，由题知π3＋a＝π2＋kπ，k∈Z，所以a＝π6＋kπ，k∈Z，又因为a>0，所以a的最小值为π6.
4．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω≠0)对任意x都有fπ4＋x＝fπ4－x，则fπ4等于( )
A．2或0 B．－2或2
C．0 D．－2或0
答案 B
解析 由fπ4＋x＝fπ4－x可知函数图象关于直线x＝π4对称，则在x＝π4处函数取得最值，所以fπ4＝±2，故选B.
5．[2015•云南统测]已知平面向量a＝(2cos2x，sin2x)，b＝(cos2x，－2sin2x)，f(x)＝a•b，要得到y＝sin2x＋3cos2x的图象，只需要将y＝f(x)的图象( )
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A.向左平行移动π6个单位
B．向右平行移动π6个单位
C．向左平行移动π12个单位
D．向右平行移动π12个单位
答案 D
解析 由题意得：f(x)＝a•b＝2cos4x－2sin4x＝2(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝2cos2x＝2sin2x＋π2，而y＝sin2x＋3cos2x＝2sin2x＋π3＝2sin2x－π12＋π2，故只需将y＝f(x)的图象向右平移π12个单位即可．故选D.
6．[2015•南宁适应性测试]函数f(x)＝12(1＋cos2x)•sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π2的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π2的偶函数
答案 D
解析 注意到sin2x＝12(1－cos2x)，因此f(x)＝14(1＋cos2x)(1－cos2x)＝14(1－cos22x)＝14sin22x＝18(1－cos4x)，即f(x)＝18(1－cos4x)，f(－x)＝18(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，选D.
7．[2014•济宁一模]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f(x0)＝3，x0∈π3，5π6，则sinx0的值为( )
1．[2015•甘肃一诊]在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若bcosA＋acosB＝－2ccosC.
(1)求角C的大小；
(2)若a＋b＝6，且△ABC的面积为23，求边c的长．
解 (1)由正弦定理得sinBcosA＋sinAcosB＝－2sinCcosC，
∴sin(A＋B)＝－2sinCcosC，化简得sinC＝－2sinCcosC.
∵0<∠C<π，∴sinC≠0，
∴cosC＝－12，∴∠C＝120°.
(2)∵a＋b＝6，∴a2＋b2＋2ab＝36.
又∵△ABC的面积为23，∠C＝120°，
∴12absinC＝23，∴ab＝8，∴a2＋b2＝20.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC＝20－2×8×－12＝28.
∴c＝27.
2．[2015•天津五区县调考]已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋12(x∈R)．
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(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到g(x)的图象，求函数y＝g(x)在x∈[0，π]上的最大值及最小值．
解 (1)f(x)＝3sinxcosx－cos2x＋12＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6
由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．
(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移π6个单位，得g(x)＝sinx－π3，
因为x∈[0，π]得：x－π3∈－π3，2π3，所以sinx－π3∈－32，1
所以当x＝0时，g(x)＝sinx－π3有最小值－32，
当x＝5π6时，g(x)＝sinx－π3有最大值1.
3．[2015•济宁模拟]已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4，记f(x)＝m•n.
(1)若f(x)＝1，求cosx＋π3的值；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求f(2A)的取值范围．
解 (1)f(x)＝m•n＝3sinx4cosx4＋cos2x4
＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12，
因为f(x)＝1，所以sinx2＋π6＝12，
所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12.
(2)因为(2a－c)cosB＝bcosC，
由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
所以2sinAcosB＝sin(B＋C)．
因为A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，
所以cosB＝12，又0<B<π2，所以B＝π3.
则A＋C＝23π，A＝23π－C，又0<C<π2，
则π6<A<π2，得π3<A＋π6<2π3，
所以32<sinA＋π6≤1又因为f(2A)＝sinA＋π6＋12，
故函数f(2A)的取值范围是3＋12，32.
4．[2015•陕西质检(二)]在△ABC中，sinA＝sinB＝－cosC.
(1)求角A，B，C的大小；
(2)若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积．
解 (1)由sinA＝sinB且A、B为△ABC内角，可知A＝B，从而有C＝π－2A.
又sinA＝－cosC＝cos2A＝1－2sin2A，
∴2sin2A＋sinA－1＝0，
∴sinA＝－1(舍去)，或sinA＝12.
故A＝B＝π6，C＝2π3.
(2)设BC＝2x，则AC＝2x，在△ACM中，AM2＝AC2＋MC2－2AC•MCcosC，
∴7＝4x2＋x2－2•2x•x•cos2π3，
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