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约19960字。

　　一元二次方程及其应用
　　一、选择题
　　1.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（   ）
　　A．2           B．3          C．4          D．8
　　【答案】C．
　　【解析】根据一元二次方程的根的定义，将x＝2代入原方程，得4－12＋c＝0，c＝8，所以原方程就是x2－6x＋8＝0，解之得x＝2或4，所以另一根为4．
　　【方法指导】本题考查一元二次方程的根的定义和解法．解答本题还可设另一根为x，由一元二次方程的根与系数的关系，得x＋2＝6，所以x＝4．如果x1，x2是一元二次方程x2＋p x＋q＝0的两个根，那么x1＋x2＝－p，x1•x2＝q．
　　2.（2013贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程 的一个根为x=3，则实数k的值为（  ）
　　A．1　　   B．-1　　C．2　  D．-2
　　【答案】：A．
　　【解析】因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．
　　【方法指导】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
　　3．（2013四川宜宾，5，3分）已知 是一元二次方程 的一个解，则m的值是　(　　　)
　　A．-3　　　B．3　　　　C．　0　　　　　D．0或3
　　【答案】A．
　　【解析】把 代入原方程可得到一个关于m的一元一次方程，再求解，应选A.
　　【方法指导】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.
　　4.（2013四川泸州，8，2分）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　）
　　A．      B． 且       C．  且       D．  且
　　【答案】D
　　【解析】根据条件得(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；解得 且 ，所以选D．
　　【方法指导】本题从考查一元二次方程的概念及根的判别式出发，同时也考查了列、解不等式(组)的知识，有较大的综合度．
　　【易错警示】容易只注重根的判别式，而忽视二次项不为0这个暗含条件．
　　5. （2013四川泸州，10，2分）设 是方程 的两个实数根，则 的值为（　　）
　　A．5           B．－5           C．1             D．－1
　　【答案】B
　　【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝ ＝ ＝－5．故选B．
　　【方法指导】本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．
　　6. （2013福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（     ）
　　A．x2＋3＝0                       B．x2＋2x＝0
　　C．(x＋1)2＝0                     D．(x＋3)(x－1)＝0
　　【答案】C
　　【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．A、△＝0－4×3＝－12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△＝4－4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、x2＋2x＋1＝0，△＝4－4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D、x1＝－3，x2＝1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选C．
　　【方法指导】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　　【易错警示】运用根的判别式时，要先化为一般形式否则易出错吆！
　　7．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为
　　A．有两个相等的实数根         B．没有实数根
　　C．有两个不相等的实数根       D．无法确定
　　【答案】：C．
　　【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
　　【方法指导】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
　　8．（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
　　A． 　　B． 　　C． 　　D．
　　【答案】A．
　　【解析】A． ，∵b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；同理，在方程 ， ， 中，b2-4ac=-3＜0无实数根、b2-4ac=0有两个相等实数根、b2-4ac=-8＜0无实数根.
　　【方法指导】本题考查一元二次方程根的判别式.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，需要把握根的存在三种情况：b2-4ac≥0，方程有实数根（两个或一个）；b2-4ac＜0，无实数根.
　　9．（2013广东广州，9，4分）若 ，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（  ）
　　A.没有实数根                                        B.有两个相等的实数根
　　C.有两个不相等的实数根                              D.无法判断
　　【答案】 A.
　　【解析】△=16+4k= ，∵ ，∴△＜0，故答案选A.
　　【方法指导】解决一元二次方程根的判别式的问题，通常都是先算判别式，然后根据已知条件作出判断。考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式：（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况求方程中待定系数的范围；（3）证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.
　　10．（2013山东日照，8，3分）已知一元二次方程 的较小根为 ,则下面对 的估计正确的是
　　A．     B．    C．        D． 
　　【答案】A
　　【解析】一元二次方程 的两个根分别是 。 。所以选A
　　【方法指导】本题是考查一元二次方程的根的取值范围，只要求出方程的根就可以准备找到根的取值范围。
　　11．（2013山东日照，12，4分）如图,已知抛物线 和直线 .我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.
　　下列判断： ①当x＞2时，M=y2； 
　　②当x＜0时，x值越大，M值越大；
　　③使得M大于4的x值不存在；
　　④若M=2，则x= 1 .其中正确的有 
　　A．1个    B．2个    C． 3个          D．4个
　　【答案】B
　　【解析】当x＞2时，M=y1，所以①错误。
　　当x＜0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以②正确。
　　当x≤0时，M=y1使得M≤0；当0＜x≤2，M=y2，使得M≤4，x＞2时，M=y1使得M≤4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以③正确。
　　当M=2时，有两种情况，即，0＜x≤2，M=y2即得2x=2,解得x=1.
　　x＞2时，M=y1即得
　　所以④错误。
　　【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)
　　12．(2013四川成都，9，3分)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是(    )
　　(A)有两个不相等的实数根    (B)有两个相等的实数根
　　(C)只有一个实数根          (D)没有实数根