高中数学选修2-2全册教案

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  • 资源类别: 人教课标版 / 高中教案 / 选修二教案
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  • 更新时间: 2012/4/17 21:04:24
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资源简介:

约47610字。

  教学过程:
  一.创设情景
  为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
  一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
  二、求曲线的切线;
  三、求已知函数的最大值与最小值;
  四、求长度、面积、体积和重心等。
  导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。
  导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
  二.新课讲授
  (一)问题提出
  问题1 气球膨胀率
  我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
   气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
   如果将半径r表示为体积V的函数,那么
  分析:  ,
  ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了
  气球的平均膨胀率为
  ⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了
  气球的平均膨胀率为
  可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
  思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 
  问题2  高台跳水
  在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态?
  思考计算: 和 的平均速度
  在 这段时间里, ;
  在 这段时间里,
  探究:计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
  ⑴运动员在这段时间内使静止的吗?
  ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
  探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知, ,
  所以 ,
  虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ,但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
  (二)平均变化率概念:
  1.上述问题中的变化率可用式子   表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
  2.若设 ,   (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 )
  3. 则平均变化率为 
  思考:观察函数f(x)的图象
  平均变化率  表示什么?
  直线AB的斜率
  三.典例分析
  例1.已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则          .
  解: ,
  ∴
  例2. 求 在 附近的平均变化率。
  解: ,所以
  所以 在 附近的平均变化率为
  四.课堂练习
  1.质点运动规律为 ,则在时间 中相应的平均速度为          .
  2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
  3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.
  五.回顾总结
  1.平均变化率的概念
  2.函数在某点处附近的平均变化率
  六.布置作业

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