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约2710字。

　　2011年全国初中数学联合竞赛试题
　　说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.
　　第一试
　　一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）
　　1．已知 ， ，则 的值为【      】
　　A．1.             B． .           C． .          D． .
　　【答】B.
　　由 可得 ，
　　即 ，
　　即 ，即 ，所以 ．
　　2．已知△ 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为【      】
　　A．5.             B．6.              C．7.              D．8.
　　【答】B.
　　设△ 的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为 ．显然 ，于是由三边关系，得
　　解得 ．
　　所以 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.
　　3．方程 的解的个数为【      】
　　A．1个           B．2个            C．3个            D．4个
　　【答】C.
　　当 时，方程为 ，即 ，解得 ， ，均满足 ．
　　当 时，方程为 ，即 ，解得 ，满足 ．综上，原方程有3个解．
　　4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有【      】
　　A．5组.          B．7组.          C．9组.            D．11组.
　　【答】C.
　　显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．
　　又因为 ，所以正方形的边长不大于 ．由于
　　；       ；     ；
　　；    ．
　　所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9．
　　5．如图，菱形ABCD中， ， ， ， ， ，则 【      】
　　A． .            B． .              C． .           D． .
　　【答】 D.
　　过F作AB的垂线，垂足为H．∵ ， ，
　　∴ ， ， ，
　　又∵ ，
　　∴  ，
　　从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝ ，
　　∴  ．
　　6．已知 ， ， ，则 的值为【      】
　　A．1.          B． .         C．2.          D． .