约3160字 第十八章  组合
　　一、方法与例题
　　1．抽屉原理。
　　例1  设整数n≥4,a1,a2,…,an是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合{a1,a2,…,an}的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。  
　　[证明]  （1）若n{a1,a2,…,an},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数ai,aj(i≠j)属于同一集合，从而ai+aj=2n被2n整除；
　　（2）若n∈{a1,a2,…,an}，不妨设an=n，从a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取3个数ai, aj, ak(ai,<aj< ak)，则aj-ai与ak-ai中至少有一个不被n整除，否则ak-ai=(ak-aj)+(aj-ai)≥2n，这与ak∈(0,2n)矛盾，故a1,a2,…,an-1中必有两个数之差不被n整除；不妨设a1与a2之差(a2-a1>0)不被n整除，考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。
　　ⅰ）若这n个数中有一个被n整除，设此数等于kn，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上an=n知结论成立。
　　ⅱ）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为ai, aj, ak-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。
　　2 极端原理。
　　例2  在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。证明：表中所有数之和不小于。
　　[证明]  计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥
　　3.不变量原理。
　　俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。
　　例3  设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，…，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。
　　[证明]  设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。
　　例4  数a1, a2,…,an中每一个是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0. 证明：4|n.
　　[证明]  如果把a1, a2,…,an中任意一个ai换成-ai，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。经有限次变号可将每个ai都变成1，而始终有S≡0(mod4)，从而有n≡0(mod4)，所以4|n。
　　4．构造法。
　　例5  是否存在一个无穷正整数数列a1,<a2<a3<…，使得对任意整数A，数列中仅有有限个素数。
　　[证明]  存在。取an=(n!)3即可。当A=0时，{an}中没有素数；当|A|≥2时，若n≥|A|，则an+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A=±1时，an±1=(n!±1)•[(n!)2±n!+1]，当≥3时均为合数。从而当A为整数时，{(n!)3+A}中只有有限个素数。
　　例6  一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。
　　[证明]  首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。
　　5．染色法。
　　例7  能否在5×5方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？
　　[解]  不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。
　　6．凸包的使用。
　　给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。
　　例8  试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。
　　[证明]  五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。
　　7．赋值方法。