约3090字 第八章  平面向量
　　一、基础知识
　　定义1  既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。
　　定义2  方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。
　　定理1  向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。
　　定理2  非零向量a, b共线的充要条件是存在实数 0，使得a= f
　　定理3  平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。
　　定义3  向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。
　　定义4  向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为 ，则a, b的数量积记作a•b=|a|•|b|cos =|a|•|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。
　　定理4  平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
　　1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
　　2  λa=(λx1, λy1), a•(b+c)=a•b+a•c，
　　3．a•b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= (a, b 0),
　　4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.
　　定义5  若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使 ，λ叫P分 所成的比，若O为平面内任意一点，则 。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 
　　定义6  设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|= 个单位得到图形 ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到 上对应的点为 ，则 称为平移公式。
　　定理5  对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a•b|≤|a|•|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
　　【证明】  因|a|2•|b|2-|a•b|2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a•b|≥0, |a|•|b|≥0，
　　所以|a|•|b|≥|a•b|.
　　由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
　　注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a•b|≤|a|•|b|，化简即为柯西不等式：  (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a•b|≥0, |a|•|b|≥0，
　　所以|a|•|b|≥|a•b|.
　　由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
　　注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a•b|≤|a|•|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
　　2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
　　二、方向与例题
　　1．向量定义和运算法则的运用。
　　例1  设O是正n边形A1A2…An的中心，求证： 
　　例2  给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是 
　　例3  在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
　　2．证利用定理2证明共线。
　　例4  △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。
　　3．利用数量积证明垂直。
　　例5  给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a b.