高中数学选修4-5全一册学案(12份)
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高中数学全一册学案(打包12套)北师大版选修4_5
高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质学案北师大版选修4_520171130315.doc
高中数学第二章几个重要的不等式1柯西不等式学案北师大版选修4_52017113037.doc
高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大版选修4_52017113038.doc
高中数学第二章几个重要的不等式3.1数学归纳法学案北师大版选修4_52017113039.doc
高中数学第二章几个重要的不等式3.2数学归纳法的应用学案北师大版选修4_520171130310.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式2.1绝对值不等式学案北师大版选修4_520171130316.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式2.2绝对值不等式的解法学案北师大版选修4_520171130317.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式学案北师大版选修4_520171130318.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第1课时学案北师大版选修4_520171130319.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第2课时学案北师大版选修4_520171130320.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式4不等式的证明第3课时学案北师大版选修4_520171130321.doc
高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用学案北师大版选修4_520171130322.doc
§1 柯西不等式
1.认识简单形式的柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义.
2.会证明一般形式的柯西不等式,并能利用柯西不等式来解决有关问题.
1.简单形式的柯西不等式
(1)定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式):
对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥__________________,当向量______________与向量________________共线时,等号成立.
(2)简单形式的柯西不等式的向量形式:
设α=(a,b),β=(c,d)是平面上任意两个向量,则______≥|α•β|,当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立.
(1)二维形式的柯西不等式的推论:
①(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a,b,c,d为非负实数);
②a2+b2•c2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R);
③a2+b2•c2+d2≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R).
(2)二维形式的三角不等式:
①x21+y21+x22+y22≥x1-x22+y1-y22(x1,y1,x2,y2∈R);
②推论:x1-x32+y1-y32+x2-x32+y2-y32≥x1-x22+y1-y22(x1,x2,x3,y1,y2,y3∈R).
【做一做1-1】已知不等式(x+y)1x+ay≥9对任意的正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( ).
A.2 B.4 C.6 D.8
【做一做1-2】已知x+2y=1,则x2+y2的最小值为________.
2.一般形式的柯西不等式
(1)定理2:
设a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn是两组实数,则有(a21+a22+…+a2n)__________________≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当向量______________与向量(b1,b2,…,bn)共线时,等号成立.
(2)推论(三维形式的柯西不等式):
设a1,a2,a3,b1,b2,b3是两组实数,则有(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥________________.当向量(a1,a2,a3)与向量(b1,b2,b3)共线时“=”成立.
【做一做2-1】设a=(1,0,-2),b=(x,y,z),若x2+y2+z2=16,则a•b的最大值为________.
【做一做2-2】已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是( ).
§1 不等式的性质
1.理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义,掌握求差比较法和求商比较法.
2.掌握不等式的性质,并能进行证明.
3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式.
1.实数大小的比较
(1)求差比较法.
①a>b⇔______;②______⇔a-b<0;③a=b⇔______.
判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a-b的符号,至于差究竟是多少则是无关紧要的.
(2)求商比较法.
当a>0,b>0时,①ab>1⇔______;②______⇔a<b;③ab=1⇔______.
答案:(1)①a-b>0 ②a<b ③a-b=0 (2)①a>b ②ab<1 ③a=b
【做一做1-1】比较大小:x2+3__________3x(其中x∈R).
【做一做1-2】比较1816与1618的大小.
2.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么______;如果b<a,那么______.
(2)性质2:如果a>b,b>c,那么______.
(3)性质3:如果a>b,那么a+c>______.
推论:如果a>b,c>d,那么a+c>______.
(4)性质4:如果a>b,c>0,那么ac____bc;如果a>b,c<0,那么ac____bc.
推论1:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>____.
推论2:如果a>b>0,那么a2____b2.
推论3:如果a>b>0,那么an____bn(n为正整数).
推论4:如果a>b>0,那么 ____ (n为正整数).
(1)引导学生掌握性质的证明方法,举反例是证明命题错误的主要方法,证明过程体现数学的严谨性.
(2)特别注意性质4使用的前提,不等号方向取决于c的符号.
【做一做2-1】判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)如果a>b,那么a-c>b-c.
(2)如果a>b,那么ac>bc.
§5 不等式的应用
1.进一步掌握不等式的性质,并应用不等式的性质解决一些简单的实际问题.
2.能用定理2和定理4求函数的最值,并能解决实际应用问题.
对定理2、定理4的理解
(1)定理2:对任意的两个数a,b,有a+b2≥______(此式当且仅当a=b时取“=”号).
(2)定理4:对任意的三个数a,b,c,有________≥3abc(此式当且仅当a=b=c时取“=”号).
【做一做1】已知2x+3y=2(x>0,y>0),则xy的最小值为________.
【做一做2】函数y=x2+4+8x(x>0)的最小值为________.
【做一做3】已知x>0,y>0,且1x+9y=1,则x+y的最小值是( ).
A.16 B.15 C.14 D.13
答案:
(1)ab (2)a+b+c3
【做一做1】6 已知2=2x+3y,
∵x>0,y>0,
∴2=2x+3y≥26xy,即xy≥6当且仅当2x=3y,即x=2,y=3时取“=”号.
∴xy的最小值为6.
【做一做2】3316+4 ∵x>0,∴y=x2+8x+4=x2+4x+4x+4≥33x2•4x•4x+4=3316+4.当且仅当x2=4x,即x=34时取“=”号,∴所求最小值为3316+4.
【做一做3】A ∵x>0,y>0,1x+9y=1,
∴x+y=1x+9y(x+y)=yx+9xy+10≥6+10=16,
当且仅当yx=9xy,即x=4,y=12时等号成立.
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