高中数学选修4-1全一册互动课堂学案（12份）
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高中数学全一册互动课堂学案（打包12套）新人教A版选修4_1
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理互动课堂学案新人教A版选修4_120171027464.doc
高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理互动课堂学案新人教A版选修4_12017102747.doc
高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定互动课堂学案新人教A版选修4_120171027411.doc
高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质互动课堂学案新人教A版选修4_120171027415.doc
高中数学第二讲直线与圆的位置关系五与圆有关的比例线段互动课堂学案新人教A版选修4_120171027419.doc
高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理互动课堂学案新人教A版选修4_120171027423.doc
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线互动课堂学案新人教A版选修4_120171027432.doc
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨三平面与圆锥面的截线互动课堂学案新人教A版选修4_120171027436.doc
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影互动课堂学案新人教A版选修4_120171027440.doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理互动课堂学案新人教A版选修4_120171027451.doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质互动课堂学案新人教A版选修4_120171027458.doc
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理互动课堂学案新人教A版选修4_120171027460.doc
二 圆内接四边形的性质与判定定理
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重难突破
一、圆内接四边形的性质定理
圆内接四边形的性质定理包括两个:定理1是圆的内接四边形对角互补;定理2是圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.这两个定理表述形式稍有差别,但反映的本质相同,都反映了圆内接四边形所具有的特征.利用这两个定理,可以借助圆变换角的位置,得到角的相等关系或互补关系,再进行其他的计算或证明.利用这两个定理可以得出一些重要结论,如内接于圆的平行四边形是矩形;内接于圆的菱形是正方形;内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推理过程.
二、圆内接四边形的判定定理
1.定理:如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形内接于圆.
2.符号语言表述:在四边形ABCD中,如果∠B+∠D=180°,那么四边形ABCD内接于圆.
3.证明思路:要证明四边形ABCD内接于圆,就是要证明A、B、C、D四点在同一个圆上.根据我们的经验,若能证明这四个点到一个定点距离相等即可.但是这个定点一时还找不出来.不过对于不在同一条直线上的三点来说,总可以确定一个圆.因此我们可以先经过A、B、C、D中的任意三个点,譬如过A、B、C三点作一个圆,再证明第四个点D也在这个圆上就可以了.但是直接证明点D在圆上很困难,所以我们采用反证法证明.也就是假设点D不在圆上,经过推理论证,得出错误的结论,这就说明点D不在圆上是错误的,因此点D只能在圆上.
一 圆周角定理
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一、圆周角定理
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是,圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才有上面定理中所说的数量关系.
在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的,当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系,然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况,一是圆心在圆周角内,二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论,最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立.在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行,后面还会遇到这种分情况证明的定理.
另外,通过这个定理的分析、证明,我们可以看到,在几何里讨论问题时,常常从特殊情况入手,因为特殊情况下问题往往容易解决,如图2-1-1中,中间一种情况为圆周角的一边经过圆心,此时∠AOB =2∠C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后,再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题,如图2-1-1左图和右图的情况,通过辅助线,把它们变成中间那样的两个角的和或差,这样利用特殊情况下的结论,便可使一般情况下的结论得证.
定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.
图2-1-1
二、圆周角定理的两个推论
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
如图2-1-2,∠ABE =∠ACE =∠ADE,∠A =∠B =∠C.
图2-1-2
推论2:半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.如图2-1-3,∠ACB =∠ADB =∠AEB =90°,AB是直径.
一 平行线等分线段定理
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一、平行线等分线段定理
平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.
图1-1-2
对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.
图1-1-3
定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.应当注意定理图形的变式:对于三条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.
图1-1-4
图1-1-5
利用本定理可将一线段分成n等份，也可以证明线段相等或转移线段的位置.平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.
二、平行线等分线段定理的推论
平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下:
推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB =BC，BB′∥CC′交AC′于B′点.求证:B′是AC′的中点.
证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线a，分别双向延长线段BB′、CC′,得直线b、c.
∵a∥b∥c，AB =BC，
∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.
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