柯西不等式的证明及相关应用
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柯西不等式的证明及相关应用
摘要:柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容,也是高中数学的一个重要知识点,它不仅历史悠久,形式优美,结构巧妙,也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。
关键词:柯西不等式 柯西不等式变形式 最值
一、柯西(Cauchy)不等式:
等号当且仅当 或 时成立(k为常数, )
现将它的证明介绍如下:
方法1 证明:构造二次函数
=
由构造知 恒成立
又
即
当且仅当 即 时等号成立
方法2 证明:数学归纳法
(1) 当 时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时 右式
左式
故 时 不等式成立
(2)假设 时,不等式成立
即
当 ,m为常数, 或 时等号成立
设A= B=
则
当 ,m为常数, 或 时等号成立
即 时不等式成立
综合(1)(2)可知不等式成立
二、柯西不等式的简单应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式,学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等,能进一步开阔学生的数学视野,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,常通过适当配凑,直接套用柯西不等式解题,常见的有两大类型:
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