约5130字 第十三章  排列组合与概率
　　一、基础知识
　　1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
　　2   乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
　　3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 表示， =n(n-1)…(n-m+1)= ,其中m,n∈N,m≤n,
　　注：一般地 =1，0！=1， =n!。
　　4．N个不同元素的圆周排列数为 =(n-1)!。
　　5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 表示：
　　
　　6．组合数的基本性质：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
　　7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为 。
　　[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有 种。故定理得证。
　　推论1  不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为 
　　推论2  从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为 
　　8．二项式定理：若n∈N+,则(a+b)n= .其中第r+1项Tr+1= 叫二项式系数。
　　9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.
　　10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)= 
　　11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为
　　p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).
　　12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为 。由定义知p(A)+p( )=1.
　　13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
　　14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A•B)=p(A)•p(B).若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1•A2• … •An)=p(A1)•p(A2)• … •p(An).
　　15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
　　16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验