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共28题，约12220字。

　　黑龙江省龙东地区2016年中考数学模拟试卷　
　　一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
　　1．央视2月8日报道，除夕夜春晚直播期间的观众总规模达10.33亿，10.33亿用科学记数法表示为　　　　　　．
　　2．函数y= 中，自变量x的取值范围是　　　　　　．
　　3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是　　　　　　（添加一个条件即可）．
　　4．在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球不放回，再随机摸取一个小球，两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是　　　　　　．
　　5．不等式组 的解集是　　　　　　．
　　6．已知关于x的分式方程 ﹣ =1的解为负数，则k的取值范围是　　　　　　．
　　7．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　　　　　cm2．（结果保留π）
　　8．某超市将甲、乙两种商品进价各自提价30%后，又同时降价30元出售，售出后两种商品的总利润为60元，则甲、乙两种商品进价之和为　　　　　　元．
　　9． 如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为　　　　　　．
　　10．如图，在平面直角坐标系中，将斜边长为2个等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，得到一条折线O﹣A﹣B﹣C﹣D…，点P从点O出发沿着折线以每秒 的速度向右运动，2016秒时，点P的坐标是　　　　　　．
　　二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
　　11．下列计算正确的是（　　）
　　A．a+2a2=3a3 B．a3•a2=a6 C．a6+a2=a3 D．（ab）3=a3b3
　　12．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　　A． B． C． D．
　　13．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数 的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
　　A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
　　14．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能（　　）
　　A． B． C． D．
　　15．某中学九（1）班6个同学在课间体育活动时进行1分钟跳绳比赛，成绩如下：126，144，134，118，126，152．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
　　A．126，126 B．130，134 C．126，130 D．118，152
　　16．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）
　　A． B． C． D．
　　17．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（　　）
　　A． B． C．8 D．6
　　18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（　　）
　　A．  cm B．2cm C．3cm D．4cm
　　19．开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（　　）
　　A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
　　20．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（　　）
　　A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
　　三、解答题（共8小题，满分60分）
　　21．先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中a=2cos30°+1，b=2sin60°﹣1．
　　22．如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
　　（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
　　（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
　　（3）则S△A1B1C1：S△A2B2C2．
　　23．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．
　　（1）求此二次函数的解析式；
　　（2）在抛物线上有一点P，满足S△ACP=1，请直接写出点P的坐标．
　　24．某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画．要求每位同学必须参加，且限报一项活动．以九年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图．请你结合图示所给出的信息解答下列问题．
　　（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
　　（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
　　（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？
　　25．如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
　　（1）汽车行驶　　　　　　h后加油，中途加油　　　　　　L；
　　（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；
　　（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？
　　26．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．
　　当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；
　　当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
　　27．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书单价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同．
　　（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
　　（2）学校计划购买这两种图书共100本，请求出所需经费W（单位：元）与购买甲种图书m（单位：本）之间的函数关系式；
　　（3）在（2）的条件下，要使投入的经费不超过1820元，且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量，则共有几种购买方案？
　　28．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F．
　　（1）求直线AB的解析式；
　　（2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；
　　（3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
　　2016年黑龙江省龙东地区中考数学模拟试卷（三）
　　参考答案与试题解析
　　一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
　　1．央视2月8日报道，除夕夜春晚直播期间的观众总规模达10.33亿，10.33亿用科学记数法表示为　1.033×109　．
　　【考点】科学记数法—表示较大的数．
　　【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
　　【解答】解：10.33亿=1.033×109，
　　故答案为：1.033×109．
　　【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
　　2．函数y= 中，自变量x的取值范围是　x≥﹣1　．
　　【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
　　【专题】计算题．
　　【分析】根据分式的意义和二次根式的意义，列不等式组求解．
　　【解答】解：根据题意得 ，
　　解得x≥﹣1．
　　【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
　　（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
　　（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
　　（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
　　3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是　AF=AE　（添加一个条件即可）．
　　【考点】菱形的判定．
　　【分析】根据三角形中位线定理可得DF∥AC，DE∥AB，进而可得四边形AFDE为平行四边形，再AF=AE，可得四边形AFDE为菱形．
　　【解答】解：添加AF=AE，
　　∵点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，
　　∴DF∥AC，DE∥AB，
　　∴四边形AFDE为平行四边形，
　　∵AF=AE，
　　∴四边形AFDE为菱形，
　　故答案为：AF=AE．
　　【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
　　4．在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球不放回，再随机摸取一个小球，两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是　 　．
　　【考点】列表法与树状图法．
　　【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．
　　【解答】解：画树状图得：
　　由树状图可知：所有可能情况有12种，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种，所以其概率= = ，
　　故答案为： ．
　　【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
　　5．不等式组 的解集是　x 　．
　　【考点】解一元一次不等式组．
　　【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
　　【解答】解： ，
　　由①得，x＞ ，
　　由②得，x＞﹣2，
　　所以，不等式组的解集是x＞ ．
　　故答案为：x＞ ．
　　【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
　　6．已知关于x的分式方程 ﹣ =1的解为负数，则k的取值范围是　k＞ 且k≠1　．
　　【考点】分式方程的解．
　　【专题】计算题．
　　【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．
　　【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）=x2﹣1，
　　去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k=x2﹣1，
　　移项合并得：x=1﹣2k，
　　根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1
　　解得：k＞ 且k≠1
　　故答案为：k＞ 且k≠1．
　　【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
　　7．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　 　cm2．（结果保留π）
　　【考点】正多边形和圆．
　　【专题】计算题．
　　【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
　　【解答】解：如图所示：连接BO，CO，
　　∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
　　∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，
　　∴CO∥AB，
　　在△COW和△ABW中
　　，
　　∴△COW≌△ABW（AAS），
　　∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC= = ．
　　故答案为： ．
　　【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键．
　　8．某超市将甲、乙两种商品进价各自提价30%后，又同时降价30元出售，售出后两种商品的总利润为60元，则甲、乙两种商品进价之和为　400　元．
　　【考点】二元一次方程的应用．
　　【分析】设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元．然后依据售出后两种商品的总利润为60元列出关于x、y的二元一次方程，最后整体求解即可．
　　【解答】解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元．
　　根据题意得：130%x﹣30﹣x+130%y﹣30﹣y=60．
　　整理得：30%（x+y）=120．
　　解得：x+y=400．
　　故答案为：400．
　　【点评】本题主要考查的是二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
　　9． 如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为　2或2 ﹣2　．
　　【考点】翻折变换（折叠问题）．
　　【分析】在Rt△ABC中，BC=AC=2，于是得到AB=2 ，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，根据折叠的性质得到∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，推出A′C⊥AB，求得BH= BC= ，DH= A′D= x，然后列方程即可得到结果，②如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC=∠ACD，于是得到∠A′DC=∠A′CD，推出A′D=A′C，于是得到AD=AC=2．
　　【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，
　　∴AB=2 ，∠B=∠A′CB=45°，
　　①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，
　　∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
　　∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，
　　∵∠B=45°，
　　∴A′C⊥AB，
　　∴BH= BC= ，DH= A′D= x，
　　∴x + =2 ，
　　∴x=2 ﹣2，
　　∴AD=2 ﹣2；
　　②如图2，当A′D∥AC，
　　∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
　　∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，
　　∵∠A′DC=∠ACD，
　　∴∠A′DC=∠A′CD，
　　∴A′D=A′C，
　　∴AD=AC=2，
　　综上所述：AD的长为：2或2 ﹣2．
　　【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
　　10．如图，在平面直角坐标系中，将斜边长为2个等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，得到一条折线O﹣A﹣B﹣C﹣D…，点P从点O出发沿着折线以每秒 的速度向右运动，2016秒时，点P的坐标是　（2016，0）　．
　　【考点】规律型：点的坐标．
　　【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2016的坐标．
　　【解答】解：因为等腰直角三角形，点P从点O出发沿着折线以每秒 的速度向右运动，可得：
　　当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点A的坐标为（1，1），
　　当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点的坐标为（2，0），
　　当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点B的坐标为（3，﹣1），
　　当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点的坐标为（4，0），
　　当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点C的坐标为（5，1），
　　当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点的坐标为（6，0），
　　…，
　　∵2016÷4=504，
　　∴A2016的坐标是（2016，0），
　　故答案为：（2016，0）．
　　【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
　　二、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
　　11．下列计算正确的是（　　）
　　A．a+2a2=3a3 B．a3•a2=a6 C．a6+a2=a3 D．（ab）3=a3b3
　　【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
　　【专题】计算题．
　　【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方分别求出每个式子的结果，再判断即可．
　　【解答】解：A、a和2a2不能合并，故A选项错误；
　　B、a3•a2=a5，故B选项错误；
　　C、a6和a2不能合并，故C选项错误；
　　D、（ab）3=a3b3，故D选项正确；
　　故选：D．
　　【点评】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的应用，主要考查学生的计算能力．
　　12．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
　　A． B． C． D．
　　【考点】中心对称图形；轴对称图形．
　　【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
　　【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
　　B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意；
　　C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
　　D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
　　故选B．
　　【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
　　13．如果点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）都在反比例函数 的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　）
　　A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1
　　【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
　　【分析】分别把x=﹣2，x=﹣1，x=2代入解析式求出y1、y2、y3根据k＞0判断即可．
　　【解答】解：分别把x=﹣2，x=﹣1，x=2代入解析式得：
　　y1=﹣ ，y2=﹣k，y3= ，
　　∵k＞0，
　　∴y2＜y1＜y3．
　　故选：B．
　　【点评】本题主要考查对反比例函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，能根据k＞0确定y1、y2、y3的大小是解此题的关键．
　　14．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能（　　）
　　A． B． C． D．
　　【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
　　【分析】根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案选择C，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和左视图，从上面看，几何体的第二行第3列有1个正方体，而C选项没有．
　　【解答】解：结合主视图和左视图，从上面看，几何体的第二行第3列有1个正方体，而C选项没有．
　　故选C．
　　【点评】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．
　　15．某中学九（1）班6个同学在课间体育活动时进行1分钟跳绳比赛，成绩如下：126，144，134，118，126，152．这组数据中，众数和中位数分别是（　　）
　　A．126，126 B．130，134 C．126，130 D．118，152
　　【考点】众数；中位数．
　　【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
　　【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：118，126，126，134，144，152，
　　故众数为：126，
　　中位数为：（126+134）÷2=130．
　　故选C．
　　【点评】本题考查了众数和中位数的知识，属于基础题，掌握各知识点的定义是解答本题的关键．
　　16．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）
　　A． B． C． D．
　　【考点】动点问题的函数图象．
　　【专题】压轴题；数形结合．
　　【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：
　　①0≤x≤4时，根据四边形PBDQ的面积=△ABD的面积﹣△APQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象；
　　②4≤x≤8时，根据四边形PBDQ的面积=△BCD的面积﹣△CPQ的面积，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
　　【解答】解：①0≤x≤4时，
　　∵正方形的边长为4cm，
　　∴y=S△ABD﹣S△APQ，
　　= ×4×4﹣ •x•x，
　　=﹣ x2+8，
　　②4≤x≤8时，
　　y=S△BCD﹣S△CPQ，
　　= ×4×4﹣ •（8﹣x）•（8﹣x），
　　=﹣ （8﹣x）2+8，
　　所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
　　故选：B．
　　【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
　　17．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（　　）
　　A． B． C．8 D．6
　　【考点】圆周角定理；勾股定理．
　　【分析】首先延长CA，交⊙A于点F，易得∠BAF=∠DAE，由圆心角与弦的关系，可得BF=DE，由圆周角定理可得：∠CBF=90°，然后由勾股定理求得弦BC的长．
　　【解答】解：延长CA，交⊙A于点F，
　　∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，
　　∴∠BAF=∠DAE，
　　∴BF=DE=6，
　　∵CF是直径，
　　∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，
　　∴BC= =8．
　　故选C．
　　【点评】此题考查了圆周角定理、圆心角与弦的关系以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　　18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（　　）
　　A．  cm B．2cm C．3cm D．4cm
　　【考点】含30度角的直角三角形．
　　【专题】常规题型．
　　【分析】根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值．
　　【解答】解：∵ED⊥AB，∠A=30°，
　　∴AE=2ED，
　　∵AE=6cm，
　　∴ED=3cm，
　　∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
　　∴ED=CE，
　　∴CE=3cm；
　　故选：C．
　　【点评】此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE．
　　19．开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（　　）
　　A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
　　【考点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
　　【分析】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元，根据小强和小亮所花费的钱数列出方程组，可求得笔和本的单价，然后设小伟购买了a支笔，b个本，接下来根据小伟的花费列出关于a、b的方程，最后求得方程的非负整数解即可．
　　【解答】解：设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元．
　　根据题意得： ．
　　解得： ．
　　设小伟购买了a支笔，b个本．
　　根据题意得：5a+3b=48且b≥a．
　　当a=0时，b=16，
　　当a=3时，b=11．
　　故选：B．
　　【点评】本题主要考查的是二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，根据题意列出方程和方程组是解题的关键．
　　20．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中结论正确的个数为（　　）
　　A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
　　【考点】四边形综合题．
　　【分析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性质就可以得出∠AEB=75°；设EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论．
　　【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
　　∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
　　∵△AEF等边三角形，
　　∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
　　∴∠BAE+∠DAF=30°．
　　在Rt△ABE和Rt△ADF中，
　　，
　　Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
　　∴BE=DF，
　　∴CE=CF，故①正确；
　　∵∠BAE=∠DAF，
　　∴∠DAF+∠DAF=30°，
　　即∠DAF=15°，
　　∴∠AEB=75°，故②正确；
　　设EC=x，由勾股定理，得
　　EF= x，CG= x，
　　AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
　　∴AG≠2GC，③错误；
　　∵CG= x，AG= x，
　　∴AC= x
　　∴AB=AC• = x，
　　∴BE= x﹣x= x，
　　∴BE+DF=（ ﹣1）x，
　　∴BE+DF≠EF，故④错误；
　　∵S△CEF= x2，
　　S△ABE= ×BE×AB=  x× x= x2，
　　∴2S△ABE═S△CEF，故⑤正确．
　　综上所述，正确的有3个，
　　故选：B．
　　【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
　　三、解答题（共8小题，满分60分）
　　21．先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中a=2cos30°+1，b=2sin60°﹣1．
　　【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
　　【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可．
　　【解答】解：原式= •
　　= •
　　=a+b，
　　当a=2cos30°+1=2× +1= +1，b=2sin60°﹣1=2× ﹣1= ﹣1时，
　　原式= +1+ ﹣1=2 ．
　　【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
　　22．如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
　　（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
　　（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
　　（3）则S△A1B1C1：S△A2B2C2．
　　【考点】作图-位似变换；作图-轴对称变换．
　　【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
　　（2）利用对应点横坐标与纵坐同时乘以﹣2，进而得出各点的位置；
　　（3）利用位似图形的性质得出面积比即可．
　　【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
　　（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
　　（3）∵△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2，B2，C2，
　　∴△A1B1C1与△A2B2C2，关于原点位似，位似比为1：2，
　　∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=1：4．
　　【点评】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换和位似图形的性质，根据题意得出对应点坐标是解题关键．
　　23．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．
　　（1）求此二次函数的解析式；
　　（2）在抛物线上有一点P，满足S△ACP=1，请直接写出点P的坐标．
　　【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．
　　【分析】（1）把A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=﹣x2+bx+c，可得出二次函数解析式；
　　（2）利用三角形的面积可得出P点的纵坐标，可求出点P的横坐标，即可得出点P的坐标．
　　【解答】解：（1）将A（﹣2，0）、O（0，0）代入解析式y=x2+bx+c，得c=0，﹣4﹣2b+c=0，
　　解得c=0，b=﹣2，
　　所以二次函数解析式：y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1；
　　（2）∵AO=2，S△AOP=1，
　　∴P点的纵坐标为：±1，
　　∴﹣x2﹣2x=±1，
　　当﹣x2﹣2x=1，解得：x1=x2=﹣1，
　　当﹣x2﹣2x=﹣1时，
　　解得：x1=1+ ，x2=1﹣ ，
　　∴点P的坐标为（﹣1，1）或（1+ ，﹣1））或（1﹣ ，﹣1）．
　　【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式与图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出二次函数的表达式．
　　24．某校开展以感恩教育为主题的艺术活动，举办了四个项目的比赛，它们分别是演讲、唱歌、书法、绘画．要求每位同学必须参加，且限报一项活动．以九年级（1）班为样本进行统计，并将统计结果绘成如图1、图2所示的两幅统计图．请你结合图示所给出的信息解答下列问题．
　　（1）求出参加绘画比赛的学生人数占全班总人数的百分比？
　　（2）求出扇形统计图中参加书法比赛的学生所在扇形圆心角的度数？
　　（3）若该校九年级学生有600人，请你估计这次艺术活动中，参加演讲和唱歌的学生各有多少人？
　　【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
　　【分析】（1）各个项目的人数的和就是总人数，然后利用参加绘画比赛的学生数除以总人数即可求解；
　　（2）利用对应的百分比乘以360度即可求解；
　　（3）利用总人数600乘以对应的百分比即可求解．
　　【解答】解：（1）学生的总数是： ×100%=50（人），
　　参加书法比赛的学生所占的比例是： ×100%=20%，
　　则参加绘画比赛的学生所占的比例是：1﹣28%﹣40%﹣20%=12%，
　　（2）参加书法比赛的学生所占的比例是20%，
　　则扇形的圆心角的度数是：360×20%=72°；
　　（3）参加演讲比赛的人数是：600×28%=168（人），
　　参加唱歌比赛的人数是：600×40%=240（人）．
　　【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
　　25．如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/h，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
　　（1）汽车行驶　2　h后加油，中途加油　190　L；
　　（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；
　　（3）若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？
　　【考点】一次函数的应用．
　　【分析】（1）由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25× =40，由此可知加油量为：250﹣（100﹣40）=190；
　　（2）根据每百公里耗油量约为25L，可知每公里耗油0.25L，根据余油量=出发前油箱油量﹣耗油量列出函数表达式即可；
　　（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，可知k不变，设加油后的函数为y=﹣20x+b，代入（2，250）求出b的值，然后计算余油量为10时的行驶时间，计算行驶路程即可．
　　【解答】解：（1）由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25× =40，由此可知加油量为：250﹣（100﹣40）=190；
　　故答案为：2，190；
　　（2）y=100﹣80×0.25▪x=﹣20x+100；
　　（3）由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，
　　设此时油箱剩余油量y与行驶时间x的解析式为y=kx+b
　　把k=﹣20代入，得到y=﹣20x+b，
　　再把（2，250）代入，得b=290，
　　所以y=﹣20x+290，
　　当y=10时，x=14，所以14×80=1120，
　　因此该车从出发到现在已经跑了1120km，用时14h．
　　【点评】此题主要考查了一函数应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知图象获取正确信息是解题关键．
　　26．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE．
　　当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；
　　当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
　　【考点】全等三角形的判定与性质．
　　【分析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．
　　【解答】解；如图②中，结论：BD+AE=AB．
　　理由：作EM∥AB交BC于M，
　　∵△ABC是等边三角形，
　　∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
　　∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
　　∴△CME是等边三角形，
　　∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，
　　∴AE=BM，
　　∵DA=DE，
　　∴∠DAE=∠DEA，
　　∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，
　　∴∠DAB=∠EDM，
　　∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
　　∴∠ABD=∠DME，
　　在△ABD和△DEM中，
　　，
　　∴△ABD≌△DEM，
　　∴DB=EM=CM，
　　∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．
　　如图③中，结论：BD﹣AE=AB．
　　理由：作EM∥AB交BC于M，
　　∵△ABC是等边三角形，
　　∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
　　∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
　　∴△CME是等边三角形，
　　∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，
　　∴AE=BM，
　　∵DA=DE，
　　∴∠DAE=∠DEA，
　　∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，
　　∴∠ADB=∠DEM，
　　∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
　　∴∠ABD=∠DME，
　　在△ABD和△DEM中，
　　，
　　∴△ABD≌△DME，
　　∴DB=EM=CM，
　　∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．
　　【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，注意形变证明方法基本不变，属于中考常考题型．
　　27．学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书单价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同．
　　（1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
　　（2）学校计划购买这两种图书共100本，请求出所需经费W（单位：元）与购买甲种图书m（单位：本）之间的函数关系式；
　　（3）在（2）的条件下，要使投入的经费不超过1820元，且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量，则共有几种购买方案？
　　【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
　　【分析】（1）设甲图书的单价为x元/本，则乙图书的单价为（x﹣4）元/本，根据：3000元购进甲种图书的数量=2400元购进乙种图书的数量相同列出方程求解即可；
　　（2）购买甲种图书m，则购买乙图书（100﹣m）本，根据：所需经费=甲图书总费用+乙图书总费用可列函数关系式；
　　（3）根据：总经费W≤1820且购买的甲种图书的数量≥乙种图书数量列出不等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．
　　【解答】解：（1）设甲图书的单价为x元/本，则乙图书的单价为（x﹣4）元/本，根据题意，
　　得： ，
　　解得：x=20，
　　经检验x=20是原方程的根，
　　则x﹣4=16，
　　答：甲图书的单价为20元/本，则乙图书的单价为16元/本．
　　（2）购买甲种图书m，则购买乙图书（100﹣m）本，根据题意，
　　有：W=20m+16（100﹣m）=4m+1600；
　　（3）根据题意，得： ，
　　解得：50≤m≤55，
　　∵m需取整数，
　　∴m的值可以是：50，51，52，53，54，55，
　　故购买方案有6种：①甲图书50本，乙图书50本；②甲图书51本，乙图书49本；③甲图书52本，乙图书48本；④甲图书53本，乙图书47本；⑤甲图书54本，乙图书46本；⑥甲图书55本，乙图书45本．
　　【点评】本题主要考查分式方程、一次函数、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
　　28．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F．
　　（1）求直线AB的解析式；
　　（2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标；
　　（3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
　　【考点】一次函数综合题．
　　【专题】综合题；一次函数及其应用．
　　【分析】（1）由A坐标确定出OA的长，即为OB的长，确定出B坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；
　　（2）由A坐标确定出直线OA解析式，设OQ=t，则有OP=2t，表示出E与F坐标，进而表示出EF长，由四边形POEF为平行四边形，得到EF=OP，求出t的值，即可确定出P坐标；
　　（3）分三种情况考虑：若∠PEF=90°；若∠PFE=90°；若∠EPF=90°，过E、F分别作x轴垂线，垂足分别为G、H，分别求出t的值，确定出满足题意P坐标即可．
　　【解答】解：（1）∵A（6，8），∴OA= =10，
　　∴OB=OA=10，即B（10，0），
　　设直线AB解析式为y=kx+b，
　　把A与B坐标代入得： ，
　　解得：k=﹣2，b=20．
　　则直线AB解析式为y=﹣2x+20，；
　　（2）由A（6，8），得到直线OA解析式为y= x，
　　设OQ=t，则有OP=2OQ=2t，
　　把y=t代入y= x得：x= t；代入y=﹣2x+20得：x=10﹣ t，
　　∴E（ t，t），F（10﹣ t，t），
　　∴EF=10﹣ t﹣ t=10﹣ t，
　　若四边形POEF为平行四边形，则有EF=OP，即10﹣ t=2t，
　　解得：t= ；
　　（3）分三种情况考虑：
　　若∠PEF=90°，则有 t=2t，无解，不可能；
　　若∠PFE=90°，则有10﹣ =2t，解得：t=4，此时OP=8，即P（8，0）；
　　若∠EPF=90°，过E、F分别作x轴垂线，垂足分别为G、H，
　　∴Rt△EGP∽Rt△PHF，
　　∴ = ，即 = ，
　　解得：t= ，此时P= ，即P（ ，0）．
　　综上，P的坐标为（8，0）或（ ，0）．
　　【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定一次函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．