此资源为用户分享，在本站免费下载，只限于您用于个人教学研究。

共10道小题，约8220字。

　　2016年海南省海口市九年级数学综合性压轴题
　　(第1题图)
　　1．如图，抛物线y＝12x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，－4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)．
　　(1)求该抛物线的表达式．
　　(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连结CP，求△PCE面积的最大值．
　　(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
　　解：(1)把点C(0，－4)，B(2，0)的坐标分别代入y＝12x2＋bx＋c中，得
　　c＝－4，12×22＋2b＋c＝0，
　　解得b＝1，c＝－4.
　　∴该抛物线的表达式为y＝12x2＋x－4.
　　(2)令y＝0，即12x2＋x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝2，
　　∴点A(－4，0)，S△ABC＝12AB•OC＝12.
　　设点P的坐标为(x，0)，则PB＝2－x.
　　∵PE∥AC，
　　∴∠BPE＝∠BAC，∠BEP＝∠BCA，
　　∴△PBE∽△ABC.
　　∴S△PBES△ABC＝(PBAB)2，即S△PBE12＝(2－x6)2，
　　化简，得S△PBE＝13(2－x)2.
　　S△PCE＝S△PCB－S△PBE
　　＝12PB•OC－S△PBE
　　＝12•(2－x)•4－13(2－x)2
　　＝－13x2－23x＋83
　　＝－13(x＋1)2＋3，
　　∴当x＝－1时，S△PCE的最大值为3.
　　(3)△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
　　(Ⅰ)当DM＝DO时，如解图①所示．
　　DO＝DM＝DA＝2，
　　∴∠OAC＝∠AMD＝45°，
　　∴∠ADM＝90°，
　　∴点M的坐标为(－2，－2)．
　　,(第1题图解))
　　(Ⅱ)当MD＝MO时，如解图②所示．
　　过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
　　∴DN＝ON＝1，AN＝AD＋DN＝3，
　　又∵△AMN为等腰直角三角形，∴MN＝AN＝3，
　　∴点M的坐标为(－1，－3)．
　　(Ⅲ)当OD＝OM时，
　　∵△OAC为等腰直角三角形，
　　∴点O到AC的距离为22×4＝22，即AC上的点与点O之间的最小距离为22.
　　∵22＞2，∴OD＝OM的情况不存在．
　　综上所述，点M的坐标为(－2，－2)或(－1，－3)．
　　(第2题图)
　　2．如图，抛物线y＝－12x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A(－1，0)，C(0，2)．
　　(1)求抛物线的表达式．
　　(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
　　(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标．
　　解：(1)∵抛物线y＝－12x2＋mx＋n经过点A(－1，0)，C(0，2)，
　　∴－12－m＋n＝0，n＝2，解得m＝32，n＝2.
　　∴抛物线的表达式为y＝－12x2＋32x＋2.
　　(2)∵y＝－12x2＋32x＋2，∴y＝－12x－322＋258，∴抛物线的对称轴是直线x＝32.∴OD＝32.
　　∵点C(0，2)，∴OC＝2.
　　在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD＝52.
　　∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，如解图①，分别以C，D为圆心，CD长为半径画圆交对称轴于点P1，P2，P3，
　　∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.
　　作CH⊥x轴于H，∴HP1＝HD＝2，∴DP1＝4.
　　∴点P132，4，P232，52，P332，－52.
　　(第2题图解)
　　(3)当y＝0时，0＝－12x2＋32x＋2，解得x1＝－1，x2＝4，∴点B(4，0)．
　　设直线BC的表达式为y＝kx＋b，将B，C两点的坐标代入，得
　　2＝b，0＝4k＋b，解得k＝－12，b＝2.
　　∴直线BC的表达式为y＝－12x＋2.
　　如解图②，过点C作CM⊥EF于点M，设点
　　Ea，－12a＋2，则Fa，－12a2＋32a＋2，
　　∴EF＝－12a2＋32a＋2－－12a＋2＝－12a2＋2a(0≤x≤4)．
　　∵S四边形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝12BD•OC＋12EF•CM＋12EF•BN
　　＝12×52×2＋12－12a2＋2aa＋
　　12－12a2＋2a（4－a）.
　　＝－a2＋4a＋52
　　＝－(a－2)2＋132(0≤x≤4)．
　　∴a＝2时，S四边形CDBF的面积最大，S最大＝132，
　　此时点E(2，1)．
　　(第3题图)
　　3．如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA＝3，OB＝4.将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为点D，AE为折痕，E在y轴上．
　　(1)在如图所示的直角坐标系中，求点E的坐标及AE的长．
　　(2)线段AD上有一动点P(不与A，D重合)自点A沿AD方向以每秒1个单位长度向点D作匀速运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜3)，过点P作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数表达式．当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
　　(3)当t(0＜t＜3)为何值时，A，D，M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标．
　　解：(1)根据题意，得△AOE≌△ADE，
　　∴OE＝DE，∠ADE＝∠AOE＝90°，AD＝AO＝3，在Rt△AOB中，AB＝32＋42＝5，