数列求和的方法
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数列求和的方法
摘要:数列是高中数学的重点内容之一,而数列求和又是数列的重要内容,是历年高考考察的重点。在这里笔者对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结,以期达到熟练求和的效果。
关键词:数列 求和 方法
数列是高中数学的重点内容之一,而数列求和又是数列的重要内容,是历年高考考察的重点。在这里笔者对数列求和的一些常用的方法举例进行了分析、小结,以期达到熟练求和的效果。
1、公式法:
如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前n项和的公式来求.
①等差数列求和公式:
②等比数列求和公式:
针对训练1、已知等差数列 的通项公式为 ,求它的前n项和公式.
针对训练2、求等比数列 的前8项的和.
2、倒序相加法:
类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法。如果一个数列 ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.
例1、 已知函数
(1)证明: ;
(2)求 的值.
解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边
(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知,
两式相加得:
所以 .
小结:解题时,认真分析对某些前后具有对称性的数列,可以运用倒序相加法求和.
针对训练3、求值:
3、错位相减法:
类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到,即数列是一个“差•比”数列,则采用错位相减法.
若 ,其中 是等差数列, 是公比为 等比数列,令
则
两式相减并整理即得
例2、(2008年全国Ⅰ第19题第(2)小题,满分6分)
已知 ,求数列{an}的前n项和Sn.
解: ①
②
②—①得
小结:错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以等比数列 的公比 ;②将两个等式相减;③利用等比数列的前n项和的公式求和.
针对训练4、求和:
4、裂项相消法:
把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是前n项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法。适用于类似 (其中 是各项不为零的等差数列,
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