《初识无限》学案
- 资源简介：
约3610字。
§1 初识无限
一位富翁偶然听到一个数学教授给学生谈论“无穷”，心里便琢磨，这“有限多个”好理解，比如“我的钱财有限多”，可这“无穷”是什么呢？难道就是跟自然数一样多，或者“更多”？富翁想知道自己理解的究竟对不对，于是就问教授：“请问‘无穷’是什么？”教授回答说：“无穷就是没有穷人，都像您一样富有．”教授看到富翁不理解的样子，就进一步解释说：“想一想，如果地球上的人有无穷多个，比如说，可以和自然数对应起来，而且每个人只有一元钱，不要多，那么第一个向第二个人借一元，第二个向第三个借一元，依次往后借，如此下去，第一个人就有2元钱，其他人也没有少钱．”富翁点头承认，并说：“那还是没有我的钱多．”教授接着说：“如果第一个人重复一百万次，那不就是百万富豪了？！”富翁这才恍然大悟，明白了“无穷”是什么．
1．大约在1872年，德国著名数学家________关于无限的研究在数学史上引发了一次大地震．他指出，无限是一个奇妙的新世界，其中不但有大小之分，而且还可以进行计算．
2．若在集合A与B之间，存在元素间的对应法则f，使得A中的任一个元素a，按照对应法则f，必有B中________元素b与之对应；反之，B中的任一元素b，按照对应法则f，必有A中________元素a与之对应，则称f为A到B上的一对一的映射，简称f建立了A与B之间的一个一一对应．
3．康托的功绩是把一一对应的概念推广到了____集上．
4．在集合A与B之间，若存在一个一一对应，则称它们有相同的________，并称它们是________．
5．若在一个集合与全体正整数集合之间存在一一对应，则称这个集合是________．
6．有理数集与正整数集具有________基数，即有理数集是________．
答案：1．康托
2．唯一的 唯一的
3．无限
4．基数 对等的
5．可数的
6．相同的 可数的
一、一一对应
【例1】 设A＝(－1,1)，R＝(－∞，＋∞)．建立集合A与R之间的一一对应关系．
思路分析：关键是找到一个对应法则f，使对任意的x∈A，按照对应法则f，必有R中唯一的元素y与之对应；反之，R中的任一元素y，按照对应法则f，必有A中唯一的元素x与之对应．
解：任取A中的元素x，规定对应法则为：x先乘以π2，再取正切值，即y＝tanπ2x，则y∈R且y唯一存在；反之，对任意的R中的元素y，根据对应法则y＝tanπ2x，一定在A中有唯一的x与之对应．从而对应法则：y＝tanπ2x，x∈A，y∈R，就建立了集合A与R之间的一一对应关系．
本题要理解一一对应的本质是两个“唯一”．另外在建立两个集合之间的一一对应关系时，要借助于我们熟悉的函数．
设A＝－π2，π2，B＝[－1,1]，建立集合A与B之间的一一对应关系．
资源评论
共有 0位用户发表了评论 查看完整内容我要评价此资源