《概率》知识点讲解

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  第九章  概率(解答)
  第一节 随机事件的概率
  一、基础知识:
  1.事件的相关概念
  2.频数、频率和概率
  (1)频数、频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=nAn为事件A出现的频率.
  (2)概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率.
  3.事件的关系与运算
  名称 条件 结论 符号表示
  包含关系 A发生⇒B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)
  相等关系 若B⊇A且A⊇B 事件A与事件B相等 A=B
  并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
  交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
  互斥事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥 A∩B=∅
  对立事件 A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 A∩B=∅,P(A∪B)=1
  4.概率的几个基本性质
  (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
  (2)必然事件的概率为1.
  (3)不可能事件的概率为0.
  (4)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
  (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件,P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).
  【小题练习】
  1.某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未打靶.假设此人射击1次,则其中靶的概率约为____________;中10环的概率约为________.
  解析:中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为910=0.9,所以此人射击1次,中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2.
  答案:0.9 0.2
  2.如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心的概率是14,取到方块的概率是14,则取到黑色牌的概率是________.
  答案:12
  3.在运动会火炬传递活动中,有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号相连的概率为(  )
  A.310     B.58      C.710       D.25
  解析:选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种,其中选出的火炬手的编号相连的事件有:(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),∴选出的火炬手的编号相连的概率为P=310.
  二、考点突破
  考点一 随机事件的关系
  【例1】
  1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(  )
  A.至多有一次中靶     B.两次都中靶
  C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
  解析:选D 事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义,可知“两次都不中靶”与之互斥.
  2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的事件是(  )
  A.至多有一张移动卡     B.恰有一张移动卡
  C.都不是移动卡         D.至少有一张移动卡
  解析:选A 至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件,故选A.
  3.对飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机},其中彼此互斥的事件是________,互为对立事件的是________.
  解析:设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况,因为A∩B=∅,A∩C=∅,B∩C=∅,B∩D=∅,故A与B,A与C,B与C,B与D为互斥事件.而B∩D=∅,B∪D=I,故B与D互为对立事件.
  答案:A与B,A与C,B与C,B与D B与D
  【小结】判断互斥、对立事件的2种方法
  (1)定义法
  判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
  (2)集合法
  ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.
  ②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
  考点二 随机事件的频率与概率
  【例2】
  1.在投掷一枚硬币的试验中,共投掷了100次,“正面朝上”的频数为51,则“正面朝上”的频率为(  )
  A.49   B.0.5      C.0.51 D.0.49
  解析:选C 由题意,根据事件发生的频率的定义可知,“正面朝上”的频率为51100=0.51.
  2.(2015•北京高考)某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.
  商品
  顾客人数    甲 乙 丙 丁
  100    
  217    
  200    
  300    
  85    
  98    
  (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
  (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
  (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
  解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000=0.2.
  (2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001 000=0.3.
  (3)与(1)同理,可得:
  顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000=0.2,
  顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100+200+3001 000=0.6,
  顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000=0.1,
  所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
  【小结】1.概率与频率的关系
  频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
  2.随机事件概率的求法
  利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.

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