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　　线性规划的常见题型及其解法
　　线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．
　　归纳起来常见的命题探究角度有：
　　1．求线性目标函数的最值．
　　2．求非线性目标函数的最值．
　　3．求线性规划中的参数．
　　4．线性规划的实际应用．
　　本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．
　　【母题一】已知变量x，y满足约束条件x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为(　　)
　　A．[7，23]  B．[8，23]
　　C．[7，8]  D．[7，25]
　　求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z的最值．
　　【解析】画出不等式组x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，
　　由目标函数z＝2x＋3y得y＝－23x＋z3，平移直线y＝－23x知在点B处目标函数取到最小值，解方程组x＋y＝3，2x－y＝3，得x＝2，y＝1，所以B(2,1)，zmin＝2×2＋3×1＝7，在点A处目标函数取到最大值，解方程组x－y＝－1，2x－y＝3，得x＝4，y＝5，所以A(4,5)，zmax＝2×4＋3×5＝23．
　　【答案】A
　　【母题二】变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，
　　(1)设z＝y2x－1，求z的最小值；
　　(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；
　　(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．
　　点(x，y)在不等式组表示的平面区域内，y2x－1＝12•y－0x－12表示点(x，y)和12，0连线的斜率；x2＋y2表示点(x，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2表示点(x，y)和点(－3,2)的距离的平方．
　　【解析】(1)由约束条件x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1，作出(x，y)的可行域如图所示．
　　由x＝1，3x＋5y－25＝0，解得A1，225．
　　由x＝1，x－4y＋3＝0，解得C(1,1)．
　　由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0，解得B(5,2)．
　　∵z＝y2x－1＝y－0x－12×12
　　∴z的值即是可行域中的点与12，0连线的斜率，观察图形可知zmin＝2－05－12×12＝29．
　　(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．
　　结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
　　dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29．
　　∴2≤z≤29．
　　(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是：
　　可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．
　　结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
　　dmin＝1－(－3)＝4，
　　dmax＝－3－52＋2－22＝8
　　∴16≤z≤64．
　　1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
　　2．常见的目标函数有：
　　(1)截距型：形如z＝ax＋by．
　　求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z的最值．
　　(2)距离型：形一：如z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；
　　形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．
　　(3)斜率型：形如z＝yx，z＝ay－bcx－d，z＝ycx－d，z＝ay－bx，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率．
　　【提醒】　注意转化的等价性及几何意义．
　　角度一：求线性目标函数的最值
　　1．(2014•新课标全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为(　　)
　　A．10　　　　　　　　 B．8
　　C．3  D．2
　　【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，
　　由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8．
　　【答案】B
　　2．(2015•高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x＋2≥0，x－y＋3≥0，2x＋y－3≤0，则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
　　A．3 B．4
　　C．18 D．40
　　【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18．