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约5250字。

　　华师大版八年级下册第１７章反比例函数与三角形综合题专训
　　一、反比例函数与等腰三角形结合
　　试题１、（2015常州）如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
　　（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
　　（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
　　（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
　　【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15．
　　提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
　　设AP与y轴交于点C，如图1，
　　把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），
　　把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
　　解方程组 ，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
　　则点A与点B关于原点对称，
　　∴OA=OB，
　　∴S△AOP=S△BOP，
　　∴S△PAB=2S△AOP．
　　设直线AP的解析式为y=mx+n，
　　把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
　　求得直线AP的解析式为y=x+3，
　　则点C的坐标（0，3），OC=3，
　　∴S△AOP=S△AOC+S△POC
　　= OCAR+ OCPS
　　= ×3×4+ ×3×1= ，
　　∴S△PAB=2S△AOP=15；
　　（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
　　B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，
　　设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
　　联立 ，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，
　　联立 ，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，
　　∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），
　　∴H（m，0），
　　∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，
　　∴MH=NH，
　　∴PH垂直平分MN，
　　∴PM=PN，
　　∴△PMN是等腰三角形；
　　（3）∠PAQ=∠PBQ．
　　理由如下：
　　过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．
　　可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
　　，
　　解得： ，
　　∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．
　　当y=0时，  x+ ﹣1=0，
　　解得：x=c﹣4，
　　∴D（c﹣4，0）．
　　同理可得E（c+4，0），
　　∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，
　　∴DT=ET，
　　∴QT垂直平分DE，
　　∴QD=QE，
　　∴∠QDE=∠QED．
　　∵∠MDA=∠QDE，
　　∴∠MDA=∠QED．
　　∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
　　∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，
　　∴∠PAQ=∠PBQ．