高考解答题典型方法之概率、随机变量及其分布列(理)

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约10500字。

  高考解答题典型方法之概率、随机变量及其分布列(理)
  新课程全国卷的试卷结构是固定的,一般来说,第18题考查概率问题,并且分为两个小问,难度为中等或略偏上,规范表达很重要,不能只见算式,缺乏应有的说明,文科的概率问题,列举时一定要层次分明,表达简明;理科的分布列计算,一定要保留基本过程,求数学期望与方差,必须写出公式形状.
  一.基础知识整合
  1. 必然事件、随机事件、不可能事件.
  2. 等可能事件的概率,古典概型、几何概型、条件概率的求法和应用.
  3. 互斥事件与对立事件及其概率公式
  4. 相互独立事件可以同时发生以及独立重复试验及其公式.
  5. 随机变量、分布列、数学期望与方差.
  二、高考题型分析
  (一)随机事件的概率
  1.古典概型:P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数;
  2.几何概型:P(A)=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的长度面积或体积;
  例1.(1) 从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.
  (2) 在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为________.
  【同步提升】
  1. 如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率等于(  )
  A.14         B.13           C.12        D.23
  2. 在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.(结果用最简分数表示)
  (二)相互独立事件的概率与条件概率
  1.相互独立事件同时发生的概率:
  ①计算公式P(AB)=P(A)P(B)(A、B相互独立);
  ②解决该类问题的思路有两种:一是直接分类求解,二是利用对立事件去 求.
  2.独立重复试验:
  ①计算公式  (p为发生的概率);
  ②在应用n次独立重复试验的概率公式求解问题时,一定要弄清是多少次试验中发生k次的事件.
  3.条件概率:
  ①计算公式 ;
  ②对于条件概型要理解在哪一条件发生下某事件发生,同时要理解公式 与 不一样.
  例2. 节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(  )
  A.14                 B.12                C.34              D.78
  【同步提升】
  3. 从1、2、3、4、5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(  )
  A.18                 B.14                 C.25              D.12
  4.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(  )
  A.12                  B.512               C.14                D.16
  (三)离散型随机变量的分布列、期望、方差
  1.离散型随机变量的期望、方差
  (1)期望:E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xnpn+…;
  (2)方差:D(ξ)=(x1-E(ξ))2p1+(x2-E(ξ))2p2+…+(xn-E(ξ))2pn+…;
  (3)标准差:σ(ξ)= ;
  (4)E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ),D(ξ)=E(ξ-E(ξ))2;
  (5)若ξ~B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=npq,这里q=1-p.
  2.求离散型随机变量的期望与方差的关键是以下两点
  (1)准确理解随机变量取值并求其相应概率写出分布列 .
  (2)应用期望与方差公式计算(同时,还应掌握如二项分布的期望与方差计算的结论等).
  例3. 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各

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