函数与导数
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专题二 函数与导数
第一讲 函数及其应用
素能演练提升二SUNENG YANLIAN TISHENG ER
掌握核心,赢在课堂
1.若f(x)=则f(2012)=( )
A. B.
C.2 D.
解析:依题意,f(2012)=f(4×502+4)=f(0)=20+,选A.
答案:A
2.(2014河南洛阳一模,2)函数f(x)=的定义域是( )
A.(-3,0)
B.(-3,0]
C.(-∞,-3)∪(0,+∞)
D.(-∞,-3)∪(-3,0)
解析:∵f(x)=,∴要使函数f(x)有意义,需使即-3<x<0.
答案:A
3.(2013广东高考,理2)定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:y=x3,y=2sin x为奇函数;y=x2+1为偶函数;
y=2x为非奇非偶函数.所以共有2个奇函数,故选C.
答案:C
4.(2013河南洛阳统一考试,11)已知x1,x2是函数f(x)=e-x-|ln x|的两个零点,则( )
A.<x1x2<1
B.1<x1x2<e
C.1<x1x2<10
D.e<x1x2<10
解析:在同一坐标系下画出函数y=e-x与y=|ln x|的图象,结合图象不难看出,它们的两个交点中,其中一个交点的横坐标属于区间(0,1),另一个交点的横坐标属于区间(1,+∞),即在x1,x2中,其中一个属于区间(0,1),另一个属于区间(1,+∞).不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,+∞),则有=|ln x1|=-ln x1∈(e-1,1),=|ln x2|=ln x2∈(0,e-1),=ln x2+ln x1=ln(x1x2)∈(-1,0),于是有e-1<x1x2<e0,即<x1x2<1,选A.
答案:A
5.(2014云南昆明三中、玉溪一中联考,11)已知函数f(x)是R上的奇函数,对于∀x∈(0,+∞)都有f(x+2)=-f(x),且x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,则f(-2012)+f(2013)的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:依题意,函数f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.又对于∀x∈(0,+∞)都有f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=f(x),f(x)的周期为4.∵当x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,∴f(-2012)+f(2013)=-f(2012)+f(2013)=-f(0)+f(1)=0+3=3,故选C.
答案:C
6.(2014河南洛阳期末,12)已知函数f(x)=cosx,g(x)=2-|x-2|,x∈[-2,6],则函数h(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和为 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
解析:函数h(x)=f(x)-g(x)的所有零点之和可转化为f(x)=g(x)的根之和,即转化为y1=f(x)和y2=g(x)两个函数图象的交点的横坐标之和.又由函数g(x)=2-|x-2|与f(x)的图象均关于x=2对称,可知函数h(x)的零点之和为12.
答案:D
7.若函数f(x)=,则
(1)= ;
(2)f(3)+f(4)+…+f(2012)+f+f+…+f= .
解析:(1)∵f(x)+f=0,
∴=-1(x≠±1).∴=-1.
(2)结合(1)知f(3)+f=0,f(4)+f=0,…,
f(2012)+f=0,
因此f(3)+f(4)+…+f(2012)+f+…+f=0.
答案:(1)-1 (2)0
8.(2014吉林长春第一次调研,16)定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[1.5]=1,[-1.5]=-2.若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中:①y=f(x)为奇函数;②y=f(x)是周期函数,周期为2π;③y=f(x)的最小值为0,无最大值;④y=f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号是 .
解析:f(1.5)=sin(1.5-[1.5])=sin0.5,f(-1.5)=sin(-1.5-[-1.5])=sin0.5,则f(1.5)=f(-1.5),故①错.f (x+1)=sin(x+1-[x+1])=sin(x+1-[x]-1)=sin(x-[x])=f(x),∴T=1,故②错.g(x)=x-[x]在[k,k+1)(k∈Z)上是单调递增的周期函数,知g(x)∈[0,1),故f(x)∈[0,sin1),故③正确.易知④错.综上,正确的序号为③.
答案:③
9.已知0<a<1,f(ax)=x+.
(1)求f(x)的解析式,并求出f(x)的定义域;
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