约11160字 第七编  不等式
　　§7.1  不等关系与不等式
　　1.已知-1＜a＜0,那么-a,-a3,a2的大小关系是              .
　　答案  -a＞a2＞-a3
　　2.若m＜0,n＞0且m+n＜0，则-n，-m，m，n的大小关系是                 .
　　答案  m＜-n＜n＜-m
　　3.已知a＜0,-1＜b＜0,那么a,ab,ab2的大小关系是               .
　　答案  ab＞ab2＞a
　　4.设a=2- ,b= -2,c=5-2 ,则a,b,c的大小关系为          .
　　答案  a＜b＜c
　　5.设甲：m、n满足 乙：m、n满足 那么甲是乙的              条件.
　　答案  必要不充分
　　例1 （1）设x＜y＜0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小；
　　（2）已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,n＞2时比较cn与an+bn的大小.
　　解  （1）方法一  （x2+y2）(x-y)-(x2-y2)(x+y)
　　=(x-y)［x2+y2-(x+y)2］=-2xy(x-y),
　　∵x＜y＜0,∴xy＞0,x-y＜0,
　　∴-2xy(x-y)＞0,
　　∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
　　方法二  ∵x＜y＜0,∴x-y＜0,x2＞y2,x+y＜0.
　　∴(x2+y2)(x-y)＜0,(x2-y2)(x+y)＜0,
　　∴0＜ = ＜1,
　　∴(x2+y2)(x-y)＞(x2-y2)(x+y).
　　(2)∵a,b,c∈{正实数}，∴an,bn,cn＞0,
　　而 = + .
　　∵a2+b2=c2,则 + =1,
　　∴0＜ ＜1,0＜ ＜1.
　　∵n∈N,n＞2,
　　∴ ＜ , ＜ ,
　　∴ = + ＜ =1,
　　∴an+bn＜cn.
　　例2  已知a、b、c是任意的实数，且a＞b,则下列不等式恒成立的是         .
　　①(a+c)4＞(b+c)4           ②ac2＞bc2
　　③lg|b+c|＜lg|a+c|        ④(a+c) ＞(b+c)  
　　答案  ④
　　例3 （14分）已知-1＜a+b＜3且2＜a-b＜4,求2a+3b的取值范围.
　　解  设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),
　　∴ ,                                                         4分
　　∴m= ,n=- .                                                        6分
　　∴2a+3b= (a+b)- (a-b).                                             7分
　　∵-1＜a+b＜3,2＜a-b＜4,
　　∴- ＜ (a+b)＜ ,-2＜- (a-b)＜-1,                               10分
　　∴- ＜ (a+b)-  (a-b)＜ ,                                       12分
　　即- ＜2a+3b＜ .                                                   14分
　　1.（1）比较x6+1与x4+x2的大小，其中x∈R;
　　(2)设a∈R,且a≠0,试比较a与 的大小.
　　解  （1）（x6+1）-（x4+x2）
　　=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)
　　=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1)
　　=(x2-1)2(x2+1).
　　当x=±1时，x6+1=x4+x2;
　　当x≠±1时，x6+1＞x4+x2.
　　（2）a- = = 
　　当-1＜a＜0或a＞1时,a＞ ；
　　当a＜-1或0＜a＜1时,a＜ ；